可导必连续,可导不一定连续吗?
可导必连续，意思是一个函数可导，则导函数存在，不能说明导函数的极限存在，也不能说明导函数连续。导函数简介：如果函数f(x)在(a，b)中每一点处都可导，则称f(x)在(a，b)上可导，则可建立f(x)的导函数，简称导数，记为f(x)。
可导一定连续，连续不一定可导。连续是可导的必要条件，但不是充分条件，由可导可推出连续，由连续不可以推出可导。可以说：因为可导，所以连续。不能说：因为连续，所以可导。可导必连续证明如下图 连续不一定可导。函数可导，导函数不一定连续。
“可导必连续”：可以导的函数的话，如果确定一点那么就知道之后一点的走向，不会有突变。“连续不一定可导”：连续不可导的话，像尖的顶点，那一个点是不可导的。
不一定。原因如下：可导函数的导函数不一定连续，可以有震荡间断点，例如：把f(t) =sin(1/t)*t^2的可去间断点t=0补充定义f(0) =0，得到的新函数可导，导函数在t=0处间断。连续函数的导数连续的例子：例如：f(x)=x，f(x)=1，显然f(x)在(-∞，+∞)内连续。
可积与连续的关系：可积不一定连续，连续必定可积。可导与可积的关系：可导一般可积，可积推不出一定可导。可导，即设y=f(x)是一个单变量函数， 如果y在x=x0处左右导数分别存在且相等，则称y在x=x[0]处可导。如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。
连续的函数不一定可导；可导的函数是连续的函数；越是高阶可导函数曲线越是光滑；存在处处连续但处处不可导的函数。左导数和右导数存在且“相等”，才是函数在该点可导的充要条件，不是左极限＝右极限（左右极限都存在）。连续是函数的取值，可导是函数的变化率，当然可导是更高一个层次。
什么是“连续可导必连续,可导不一定连续”
理解：“可导必连续”：可以导的函数的话，如果确定一点那么就知道之后一点的走向，不会有突变。“连续不一定可导”：连续不可导的话，像尖的顶点，那一个点是不可导的。
连续与可导的关系是：可导一定连续，连续不一定可导。连续是可导的必要条件，但不是充分条件，由可导可推出连续，由连续不可以推出可导。可以说：因为可导，所以连续。不能说：因为连续，所以可导。函数可导的充要条件 函数在该点连续且左导数、右导数都存在并相等。
可导必连续，意思是一个函数可导，则导函数存在，不能说明导函数的极限存在，也不能说明导函数连续。导函数简介：如果函数f(x)在(a，b)中每一点处都可导，则称f(x)在(a，b)上可导，则可建立f(x)的导函数，简称导数，记为f(x)。
另一方面，“连续不一定可导”则说明了连续函数不一定具备可导性。这意味着存在一些函数在某点连续但不可导。例如，绝对值函数在x=0处连续但不可导。这类函数虽然在某点的极限存在，满足连续性，但由于其斜率在该点不一致，无法定义导数。
可导函数：如果f是在x0处可导的函数，则f一定在x0处连续，特别地，任何可导函数一定在其定义域内每一点都连续。反过来并不一定。事实上，存在一个在其定义域上处处连续函数，但处处不可导。不可导函数：只需要证明一个函数在定义域内，有一个点不可导，则该函数就是不可导函数。
连续与可导的关系连续的函数不一定可导；可导的函数是连续的函数；越是高阶可导函数曲线越是光滑；存在处处连续但处处不可导的函数。左导数和右导数存在且“相等”，才是函数在该点可导的充要条件，不是左极限＝右极限（左右极限都存在）。
为什么说可微一定连续,可导一定连续?
，一元函数：可导必然连续，连续推不出可导，可导与可微等价。2，多元函数：可偏导与连续之间没有联系，也就是说可偏导推不出连续，连续推不出可偏导。3，多元函数中可微必可偏导，可微必连续，可偏导推不出可微，但若一阶偏导具有连续性则可推出可微。
对于多元函数，如果函数在某一点处可导，则该点处一定可微。这是因为多元函数的可导性需要偏导数存在且连续，而偏导数就是函数在该点处的变化率，因此它们之间存在一一对应关系。可微是可导的充分条件：对于一元函数，如果函数在某一点处可微，则该点处一定可导。
可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导。可微与连续的关系：可微与可导是一样的。可积与连续的关系：可积不一定连续，连续必定可积。可导与可积的关系：可导一般可积，可积推不出一定可导。
为什么在闭区间上可导就一定连续呢?
首先在闭区间上连续是为了使用费马引理。其次在一点可导的一般情况，是左右导数都存在并且相等。所以如果将在开区间可导换为在闭区间可导，则对于端点处，可导性就成了左可导和右可导，这只是可导的特例，而作为定理，我们需要描述的是一般情况，因此用开区间。
连续、可导与积分的关系一致连续性定理 若函数f（x）在闭区间【a，b】 上连续，则f（x）在闭区间 【a，b】 上一致连续。 可积的条件 （1）可积的必要条件 定理 若函数f（x）在 【a，b】 上可积，则f（x）在 【a，b】 上必有界。
也就是说，一个函数可以在某区间内连续，但并不一定在该区间内处处可导。这主要是因为函数的连续性仅保证了函数值在该点附近的变化趋势，但并不保证该函数在该点处的切线存在。至于函数的可积性，情况更为复杂。一个函数即使在闭区间内处处不可导，也有可能在该区间上可积。
函数的连续性是函数在闭区间上的一个基本要求，而可导性则进一步探讨了函数在某点的变化率。闭区间上的连续性要求端点处的左右连续性，而开区间上的可导性则关注函数在点的左右导数的一致性。中值定理的应用则依赖于这两点条件。
因为可导一定连续，连续不一定可导。闭区间连续，开区间可导，亦是零点定理等后续定理的两个前提条件。函数单调性判定亦是通过求导来完成。
可微、可导、连续、偏导存在、极限存在之间的关系是什么?
可微、可导、连续、偏导存在、极限存在之间的关系是：函数的极限存在不一定连续，连续不一定可导，可导则必然连续且极限存在，偏导存在不一定连续，连续不一定可微，但可微一定连续。首先，我们来看极限存在与连续的关系。一个函数在某点的极限存在，并不意味着该函数在该点连续。
可微、可导、连续、偏导存在、极限存在之间的关系在微积分中非常重要。简要来说，这些概念之间存在一定的强弱关系： **可微与可导**：对于一元函数，可导与可微互为充分必要条件，即两者等价。若函数在某点可导，则必在该点可微；反之亦然。这意味着函数在该点处存在切线，且切线能很好地拟合原函数。
结论：可微、可导、连续、偏导存在以及极限存在之间存在紧密的联系。让我们逐个探讨它们之间的关系。首先，函数y=f(x)在点x0可微，意味着当自变量微小变化Δx时，函数值的变化Δy可以用一个与Δx无关的常数A来近似表示，即dy ≈ A×Δx。
